Salámové lemma

Varování: tady jsem nechal vyplout na povrch svou geekovskou stránku. O mé duševní zdraví se nebojte, dá se to celkem s úspěchem vypnout. Pokud vám pohled na logaritmus způsobuje nevolnost, čtěte radši Blesk.

Mějme špagety (S), do nichž krátíme salám (taky S). Problém, který typicky řeší líná osoba (já) je, na jak malé kousky je potřeba salám nakrájet? Ten problém už mě trápí řadu let, rozhodl jsem se ho dneska analyticky popsat a navrhnout řešení. Malý krok pro člověka a velký pro lidstvo.

Úlohu jsem si vymezil takto: rád bych se s tím moc nepáral (nekrájel), čili bych rád kousky dělal co největší. Zároveň však musím splnit kritérium žratelnosti. Totiž – jídlo se jí po soustech, a sousta bez salámu (tzv. kejdu) nemá nikdo rád. Proto je nutno salám nakrájet nejméně takový počet kousků, abych kejdu nenabral moc často. Co takové “moc často” znamená, je dáno až konkrétní aplikací: pokud jsem například školní jídelna, je tolerovatelná 25% kejda (=každá čtvrtá lžíce bez salámu), pokud si vařím sám pro sebe, odpustil bych si maximálně 10% kejdu.

Zaveďmě problém formálně. Špagety jsou tvořeny n sousty. Kritérium žratelnosti požaduje, aby při náhodném rozmístění s salámů mezi n soust bylo nejvýše k % jídla kejda.

Úlohu si zjednodušíme výpočtem pravděpodobnosti nabrání kejdy v jednom konkrétním soustě. Výpočet je poměrně přímočarý, rozmisťuji-li s salámů mezi n soust, pak má počet salámů v jednom soustu binomickou distribuci. Naberu-li jedno sousto, pak je pravděpodobnost výskytu jednoho konkrétního salámu v tomto soustě 1\frac{1}{n}. Pravděpodobnost, že se salám nachází mimo sousto je tedy 1-\frac{1}{n} a konečně pravděpodobnost, že se v soustu nevyskytuje ani jeden salám je (1-\frac{1}{n})^s.

Juch, je to jasný – mám tím pádem omezení k > 100 (1-\frac{1}{n})^s . Po úpravě už je tu výsledek, který pracovně nazývám salámové lemma:

s > \frac{ln(\frac{k}{100})}{ln(1-\frac{1}{n})} (salámové lemma).

Ukázka aplikace salámového lemmatu v praxi: normální jídlo má dejme tomu 25 soust, a kejdy v něm nechci víc než 10 % – čili maximálně dvě sousta můžou zůstat bez salámu. Potom s > \frac{ln(0,1)}{ln(0,96)} = 56,4, čili potřebuju nakrájet salám aspoň na 57 kousků. Samozřejmě, pokud krájíte salám třeba pro čtyři lidi, bude to asi čtyřikrát tolik. Pokud krájíte junior podobně jako já (jedno kolečko na 5×5 kousků), budete muset na jednu osobu říznout cca 12krát nožem (2 odříznutí kolečka + 5 podélných + 5 kolmých řezů ).

QED.

Diskuse:
1) Model je zavádějící v tom, že předpokládá retardovaný lidi, který si neumí na lžíci cíleně nabírat přiměřené množství salámu – v tomto smyslu je výsledná hodnota maximálním počtem kousků, na které je potřeba salám nakrájet, když třeba hodláte jíst potmě nebo se u jídla koukat na televizi. Jinak salámu můžete krájet i míň – extrémní škudlilové mohou na n soust nakrájet jen n(1-\frac{k}{100}) kousků salámu – v příkladu výš bych si třeba do 25 soust nakrájel jenom 23 kusů salámu (čímž bych mimochodem ušetřil asi tak dvě říznutí nožem), a pořád bych se dokázal udržet pod deseti procenty kejdy… Taková aplikace je ale samozřejmě blbost, protože jestli jsem línej krájet salám, těžko se asi budu ochotnej deset minut hrabat ve špagetách abych pokaždý nabral právě jednu kostičku..

2) Samozřejmě by bylo fajn přinutit lidi, aby jedli větší sousta, v ideálním případě aby snědli celé jídlo na jeden hlt. Pak by bylo řešení krájecího problému triviální (prostě sežeru celej salám bez krájení). Kdybychom měli větší huby, vůbec se nemuselo krájet (a svět by byl lepším místem..?).

3) Úloha je do značné míry ideální a nebere v potaz některá významná omezení. V prvé řadě je tu tzv. “studená limita”, kdy množství salámu je shora omezeno tím, kolik ho najdete v ledničce. V návaznosti pak je možné uvažovat její rozšíření na optimalizační problém, zahrnující velikost kostičky salámu a vzdálenost nejbližší večerky..

Model je otevřen připomínkám a komentářům, doufám že se kolem něj etabluje nová vědecká disciplína, tzv. užitečná matematika.

Leave a Reply

Your email address will not be published.